HISTORICKÉ ÚLOHY

Úvod: Všestranný rozvoj žádné vědy není možný bez hluboké analýzy její historie. Historie matematiky je zvlášť přitažlivá. úlohy a poučky vyslovené před stovkami i tisíci let nás uchvacují svou krásou a vytříbeností logických úvah. Největší zdroje matematických idejí, pojmů a úloh se nacházejí v praktické činnosti lidí. Řešení mnoha úloh přivedla učence nejednou k tomu, že objevili nová matematická fakta.
Při dlouhotrvajícím hledání kvadratury kruhu učenci nedokázali jen neřešitelnost této úlohy v její klasické formulaci, ale objevili i neobyčejně mnoho důležitých matematických vztahů, hlubokých zákonitostí ve světě čísel, geometrických útvarů a jiných matematických objektů.
Pokusy rozřešit závažné úlohy často vedly k objevům nových teorií. Postačí uvést tři významné úlohy starověku, pokusy dokázat pátý Euklidův postulát, velkou Fermatovu větu a jiné.
Podmanivá krása matematické tvořivosti podněcuje učence i matematiky-amatéry, aby hledali stále nové důkazy už dokázaných vět, nové způsoby řešení už dávno rozřešených úloh. Od dob antického Řecka neustále přibývá nových důkazů Pythagorovy věty a různých neklasických řešení tří znamenitých úloh dávnověku.

Nejstarší matematické texty se dochovaly z civilizací starověkého Východu, z Egypta a Babylónu. Matematické úlohy vznikaly v souvislosti s tím, že bylo nutné provádět výpočty při stavebních pracech, při vybírání daní, rozdělování majetku, směně a rozdělování výrobků, při vyměřování polí a výpočtech objemů vodních nádrží a sýpek, při organizování velkých karavan apod.
Základními památkami egyptské matematiky jsou papyry Rhindův a Moskevský. Zdroji studia sumersko-babylónské matematiky jsou tabulky s klínovým písmem. Z více než 500 000 nalezených jich 150 obsahuje texty a řešení úloh a 200 z nich představuje číselné tabulky.
Vynikajícím úspěchem bylo vytvoření šedesátkové poziční soustavy. V pátém století před Kr. se v souvislosti s potřebami astronomických výpočtů objevuje zvláštní znak, který plní roli nuly. Způsoby řešení aritmetických úloh byly založeny na ideji přímé úměrnosti a aritmetického průměru.
V geometrických úlohách šlo vždy o řešení elementů rovinných nebo prostorových útvarů, se kterými se setkával architekt, stavitel, vojenský velitel, správce či ekonom. Jedním z nejvýznamnějších výkonů byla znalost a široké používání Pythagorovy věty. V klínopisných textech nacházíme výpočty obsahů pravidelných pětiúhelníků a šestiúhelníků, úlohy na složené úrokování a skutečné experimenty se speciálními případy logaritmů.

Starověké Řecko

Od 6.století před Kr. se matematika přetváří v abstraktní deduktivní vědu, předmětem jejího studia se stávají matematické objekty.
Thales z Miletu přetvořil geometrii - ze sbírky receptů na řešení různých úloh vytvořil abstraktní vědu. V pythagorejské škole se zrodila teorie čísel a studium pravidelných mnohoúhelníků. Objev nesouměřitelných úseček podnítil přechod ke geometrizaci matematických pojmů. Algebraické věty, pravidla a úlohy se vyjadřovaly pomocí termínů, které označovaly vztahy mezi délkami úseček a obsahy mnohoúhelníků.
V pátém století před Kr. byly zformulovány tři proslulé úlohy : kvadratura kruhu, zdvojení krychle a trisekce úhlu. Pokusy rozřešit je prostředky klasické geometrické algebry i neklasickými způsoby řešení přispěly k zavedení nových pojmů a k rozpracování různých metod řešení úloh.

Indie

První texty indické matematiky pocházejí z 2.tisíciletí před Kr. V několika verzích se dochoval spis Šalvasútra : jsou v něm ve verších vyložena různá pravidla pro vyměřování a výstavbu chrámů, obětních oltářů a jiných kulturních staveb. Nejvýznamnějším výsledkem indické matematiky je poziční numerace.
Naše aritmetika je nepochybně indického původu : pravidla pro početní výkony založené na desítkové soustavě, a to čtyři aritmetické operace, umocnění na druhou a na třetí, vyhledávání druhých a třetích odmocnin.

Čína

Zlomky se objevily téměř současně s přirozenými čísly. Početní výkony prvního stupně se prováděly téměř stejně jako dnes, násobení a dělení zlomků se vysvětlovalo na konkrétních úlohách na výpočet výměry zemědělských pozemků, na rozdělování - například peněz mezi několik osob.
Do dnešní doby se dochoval spis "Matematika v devíti knihách," pocházející z roku 152 před Kr. Obsahuje : aritmetiku zlomků, výpočet obsahů rovinných útvarů, objemy těles, soustavy 2 lineárních rovnic se dvěma proměnnými, soustavy n rovnic s n proměnnými.

Početní operace

V dobách dřívějších (kdy neznali desítkovou soustavu) se početní výkony neprováděly písemně, ale za pomoci zvláštních početních pomůcek. Jednou z nich byl abakus, jehož se v západní Evropě používalo až do začátku novověku.
Jak abakus vypadal: měl tvar desky ze dřeva nebo z kamene a počítalo se na něm ve vodorovné poloze pomocí kaménků nebo zvláštních početních penízků. Na desce byly vyryty linky, které označovaly čísla I, X, C, M. Místo rytí linek se někdy na desce abaku vyhlubovaly žlábky, do nichž se kladly početní penízky ve tvaru kuliček.

Prvním úkonem při počítání na abaku byla numerace čili znázornění daného čísla. Početní penízky se při numeraci kladly na linky popsané příslušnými číselnými znaky. Penízky znamenající hodnoty V, L, D (5, 50, 500) se kladly mezi linky.
Příklad : MCMXLIV (1944), MCDXV (1415), MMMCDLVIII (3458).

Sčítání se provádělo ve 4 krocích : 
a) numerace (vyznačení) jednotlivých sčítanců na levém a pravém poli abaku.
b) sjednocení penízků znázorňujících oba sčítance přemístěním pravého sčítance do levého.
c) tam, kde úhrnná hodnota penízků převyšuje nejnižší vyšší jednotku, prováděla se směna. Penízky při směňování přebývající se odkládaly do zásoby.
d) zapsání součtu.

Odčítání probíhalo obdobně :
a) numerace (vyznačení) jednotlivých sčítanců na levém a pravém poli abaku.
b) odebírání stejného počtu penízků od menšence i menšitele.
c) rozměňování vyšších jednotek za nižší, pokud přebývaly u menšitele. Pokračovalo se v odebírání, až na pravém poli abaku (u menšitele) nezbyl ani jeden penízek.
d) zapsání rozdílu.

Je zřejmé, že dnešní písemné počítání je rychlejší a přehlednější než počítání na abaku. Jeho znalost přinesli do Evropy benátští kupci ve 13.století.
 

Písemné násobení

1) Jednoduchost dnešního postupu při násobení spočívá v tom, že se čísla zapisují v poziční desítkové soustavě. Přesto někteří staří kulturní národové dovedli násobit dvě čísla ještě dříve než poznali poziční desítkovou soustavu. Byli to například staří Egypťané již tři a půl tisíce let před naším letopočtem. Používali v té době pro násobení dvou čísel metodu zdvojování a půlení.

Příklad :   85 . 43 = ?
Postup :   Číslo 85 budeme postupně násobit dvěma a číslo 43 dělit dvěma, dokud nebude podíl roven jedné.
(Zbytky při dělení dvěma zanedbáme.)

Vznikne tabulka, kde škrtneme všechny řádky, ve kterých je v pravém sloupci sudé číslo. V tabulce nyní sečteme zbylá nepřeškrtnutá čísla z prvního sloupce :   85 + 170 + 680 + 2720 = 3655.
Poznámka : Metoda půlení umožňuje převádět čísla do dvojkové soustavy (při zapisování zbytků)

2) Náš dnešní algoritmus se vyvinul ze starších, z nichž některé byly ve srovnání s dnešním dokonce jednodušší.
Podstatou dnešního algoritmu je spojení násobení se sčítáním, tzn. že se při počítání částečných součinů násobí a zároveň se přičítají desítkové složky předcházejících násobilkových spojů.
V patnáctém století používali vlašští kupci algoritmus vzniklý v Indii a nazývali jej "per gelosia"(síťový). Jeho podstata spočívala v tom, že se do nakresleného schématu připsali na jeho horní a pravý okraj činitelé a poté se zapisovaly jednotlivé násobilkové spoje v libovolném pořadí do políček ležících v témže řádku a sloupci jako odpovídající číslice obou činitelů. Konečné sčítání se provádělo v uhlopříčném směru.

Příklad :     9753 . 864 = ?                                         = 8426592

Zpět na úvodní stranu